均值不等式问题属于极值问题当中的一种，在考试过程中会时有出现，这一类问题规律性较强，如果可以熟练掌握，在考试当中将起到事半功倍的作用。今天和大家一起来学习均值不等式在数量关系当中的运用。
一、认识均值不等式
二、均值不等式的应用
(一)和一定，两数相等时，积最大。
(二)积一定，两数相等时，和最小。
三、题目练习
【例题1】直角三角形两条直角边的和等于10厘米，则三角形的面积最大是多少平方厘米?
A.10 B.12.5 C.20 D.25
【例题2】某市有一个长方形的广场，面积为1600平方米。那么，这个广场的周长至少有?
A.160米 B.200米 C.240米 D.320米
【答案】A。解析：这道题目中，要求广场的周长至少为多少，也就是要求最小值，属于极值问题。已知的条件为长方形广场的面积为1600平方米，若设长方形的长为a，宽为b，则已知a×b=1600，要求的长方形的周长，即2×(a+b)的最小值，也就是a+b的最小值，利用均值不等式的应用，当积一定时，两数相等时，和取最小值，即当a=b时，且满足a×b=1600，此时a=b=40，a+b取最小值是80，那么周长的最小值为2×80=160，选择A选项。
【例题3】一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长为多少米时，菜园的面积最大?
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】D。解析：这道题目中，要求矩形菜园长为多少时，面积最大，已知条件为此矩形菜园是由36米长的篱笆靠墙围成的，假设矩形菜园的长为a，宽为b，靠墙的一边为长，可得a+2b=36，而要求的菜园的面积可表示为a×b，即求a×b的最大值，通过已知a+2b的和为定值，可以得出当a=2b时，a×2b可取最大值，那么此时a×b也可取最大值，解得a=2b=18时，菜园的面积最大。选择D选项。
例3区别于上述两个例题在于，相等的量不是a=b，而是a=2b，这也是均值不等式运用需要注意的地方，定义中的a和b只是一个表示的符号，在做题过程中，a或b代表的可能是某个整体的值，我们可以把它们简单把a、b理解为两部分，当加号或者乘号左右两部分相等时，可以取得最值。类似于这种题目还有很多，在备考过程中，解决此类题目的关键就在于对a和b的理解。希望大家可以多多练习此类题目，更好的掌握题目的呈现形式，从而考场中才能游刃有余，考出理想的成绩。
