如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴相交于点C,连结BC,点P为抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线l,交直线BC于点G,交x轴于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时,过点C作CF⊥直线l,F为垂足,当点P运动到何处时,以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相似?并求出此时点P的坐标;
(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时,连结PC,PB,请问△PBC的面积S能否取得最大值?若能,请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标,若不能,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)将点A(﹣1,0),B(4,0)的坐标代入抛物线的解析式,求得b、c的值即可;
(2)先由函数解析式求得点C的坐标,从而得到△OBC为等腰直角三角形,故此当CF=PF时,以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相似.
设点P的坐标为(a,﹣a2+3a+4).则CF=a,PF=﹣a2+3a,接下来列出关于a的方程,从而可求得a的值,于是可求得点P的坐标;
(3)连接EC.设点P的坐标为(a,﹣a2+3a+4).则OE=a,PE=﹣a2+3a+4,EB=4﹣a.然后依据S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式,从而可求得三角形的最大面积.
解题反思:
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式,相似三角形的判定,用含a的式子表示相关线段的长度,然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键。