全等三角形的性质在解决二次函数相关问题中的应用相当广泛，本文就例题详细解析这类动点问题的解题思路，希望能给初三复习备考的同学们带来帮助。
例题
如图1，已知抛物线y=ax^2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）。
1、求抛物线的解析式
根据题目中的条件：抛物线y=ax^2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点，则可求得a=1，b=-3；
所以，抛物线的解析式为y=x^2-3x。
2、求m的值及点D的坐标
设直线OB的解析式为y=kx
根据题目中的条件：直线OB的解析式为y=kx，B（4，4），则k=1；
所以，直线OB的解析式为y=x；
设直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的解析式为y=x-m
根据题目中的条件和结论：直线y=x-m与抛物线y=x^2-3x只有一个公共点D，则一元二次方程x-m=x^2-3x有且只有一个交点；
根据根的判别式：一元二次方程x^2-4x+m=0有且只有一个解，则根的判别式△=4^2-4m=0，可求得m=4；
根据结论：一元二次方程x^2-4x+m=0，m=4，则x=2；
根据结论：直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的解析式为y=x-m，m=4，则当x=2时，y=-2；
所以，D点坐标为（2，-2）。
3、求出所有满足△POD∽△NOB的P点坐标
设BN与y轴的交点为C
（1）当P点在OD的上方
根据题目中的条件：B（4，4），则tan∠BOA=1，即∠BOA=45°；
根据题目中的条件和结论：∠COA=90°，∠BOA=45°，则∠BOC=45°；
根据题目中的条件和结论：∠BOC=45°，∠BOA=45°，则∠BOC=∠BOA；
根据全等三角形的判定、题目中的条件和结论：两组对应角及其夹边分别相等的三角形为全等三角形，∠BOC=∠BOA，BO=BO，∠OBC=∠OBA，则△BOC≌△BOA；
根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，△BOC≌△BOA，则OC=OA；
根据结论：A（3，0），OC=OA，则OC=OA=3，即C点坐标为（0,3）；
设直线BC的解析式为y=kx+b
根据结论：B（4，4），C（0,3），直线BC的解析式为y=kx+b，则k=1/4，b=3；
所以，直线BC的解析式为y=1/4x+3；
根据结论：直线BC的解析式为y=1/4x+3，抛物线的解析式为y=x^2-3x，可求得交点为（4,4）、（-3/4,45/16），则N点坐标为（-3/4,45/16）；
根据结论：D点坐标为（2，-2），则tan∠DOA=1，即∠DOA=45°；
根据结论：∠BOA=45°，∠DOA=45°，则∠BOD=∠BOA+∠DOA=90°；
根据相似三角形的性质和题目中的条件：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，△POD∽△NOB，则∠NOB=∠POD，OB/OD=ON/OP；
根据结论：∠NOB=∠POD，∠NOP=∠NOB+∠BOP，∠BOD=∠BOP+∠POD，则∠NOP=∠BOD；
根据结论：∠BOD=90°，∠NOP=∠BOD，则∠NOP=90°；
根据结论：B（4，4），D（2，-2），则OB=4√2，OD=2√2；
根据结论：OB/OD=ON/OP，OB=4√2，OD=2√2，则ON/OP=2；
过N点作NE⊥x轴，过P点作PF⊥x轴
根据结论：∠NOP=90°，∠NOE+∠NOP+∠FOP=180°，则∠NOE+∠FOP=90°；
根据辅助线：NE⊥x轴，PF⊥x轴，则∠NEO=90°，∠OFP=90°，则∠NEO=∠OFP；
根据结论：∠NEO=90°，∠NOE+∠NEO+∠ENO=180°，则∠NOE+∠ENO=90°；
根据结论：∠NOE+∠FOP=90°，∠NOE+∠ENO=90°，则∠FOP=∠ENO；
根据相似三角形的判定和结论：两组对应角分别相等的两个三角形相似，∠NEO=∠OFP，∠ENO=∠FOP，则△NEO∽△OFP；
根据相似三角形的性质和结论：相似三角形的对应边成比例，△NEO∽△OFP，ON/OP=2，则OE/PF=NE/OF=ON/OP=2；
根据结论：N点坐标为（-3/4,45/16），则OE=3/4，NE=45/16；
根据结论：OE=3/4，NE=45/16，OE/PF=NE/OF=2，则PF=3/8，OF=45/32；
所以，P点的坐标为（45/32，3/8）。
（2）当P点在OD的下方
将△POD沿OD翻折得到△POD，则△POD∽△NOB
过P点作PG⊥y轴，交y轴于点G
根据结论：∠DOA=45°，∠AOG=90°，则∠GOD=∠AOG-∠DOA=45°；
根据辅助线：将△POD沿OD翻折得到△POD，则∠POD=∠POD，PO=PO；
根据题目中的条件和结论：∠POD=∠POD，∠GOD=∠DOA，∠POG=∠POD-∠GOD，∠POF=∠POD-∠DOA，则∠POG=∠POF；
根据辅助线：PG⊥y轴，PF⊥x轴，则∠PGO=∠PFO；
根据全等三角形的判定和结论：两组对应角及其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等，
∠PGO=∠PFO，∠POG=∠POF，PO=PO，则△PGO≌△PFO；
根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，△PGO≌△PFO，则PG=PF，OG=OF；
根据结论：PG=PF，OG=OF，PF=3/8，OF=45/32，则PG=3/8，OG=45/32，即P点的坐标为（-3/8，-45/32）；
所以，符合条件的P点坐标为（45/32，3/8）或（-3/8，-45/32）。
结语
用全等三角形的性质解决二次函数动点问题的关键是要仔细分析特殊点的坐标值，根据特殊三角形的三角函数值得到特殊角的角度，再利用全等三角形的判定进行推理，得到其他边与角的关系，从而得到符合条件的动点的坐标。
