今天给大家带来的是关于最短路径的题目。最短路径问题源远流长，早期记载可追溯到古希腊著名数学家海伦及其“将军饮马”，其后又经斯涅尔、费马、伯努利、法尼亚诺等人提出形形色色引人入胜的问题，终于在“最速降线”一战中为变分法拉开了华丽序幕。
最短路径问题以初等几何变换为工具，可以很好地考察同学们的几何综合水平，从而在很多地区作为几何压轴题出现。初中教材上关于最短路径也有着详细的描述，主要有两大经典模型需要非常熟悉：“将军饮马”和“过河架桥”，当然其也会产生很多变形，如“三角洲饮马”等。处理最短路径问题，最主要的指导思想是：通过三大变换（平移、对称、旋转），将所求的若干段线段拼接成首尾依次相接的一段折线段，且起点和终点均为定点，则可利用两点之间线段最短的原理，得到所求若干段线段之和的最小值，即为该直线段的长度。
(陕西，25，12分)
问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为_______．
问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
(3)如图③所示，AB、AC、弧BC是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，弧BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在 AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点 P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)
分析：本题颇有新意，以施瓦茨三角形为背景，考察了多动点（三动点）问题的处理方式，要求同学们具有广泛的阅读量或者强大的知识迁移能力，在此我们仅分析第三问。对于多动点问题，一个首要的想法是先固定其中一个点，使动点数量降下来，研究此时的最短路径；再让先前固定的点动起来，在所有位置的最短路径中找一个最短中的最短。
首先简单分析一下原图，可看出△ABC为30°角的直角三角形，而△BCO为等边三角形；然后心中一合计，应该先固定点P（为什么？），考察此时的最短路径。假定点P的位置如图所示：
如果到了这一步，不能进行有效的联想，很可能导致思路中断。看看这幅“三角洲饮马”图，你恐怕就明白了：
思路源于积累！所以第一步我们已经解决了，在每一个固定点P的位置，我们都可以找到此时对应的最短路径PP\，但是当点P动起来后，所有最短路径中的最小值又在哪儿呢？你只要回忆一下，“三角洲饮马”问题中的PP\是怎样计算的，就可以推断出来了，不过在此我们借助几何画板来演示：
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原来如此！我们把PP\放在了等腰三角形PAP\中去计算，由轴对称的性质可知PA=P\A=PA，而其顶角∠PAP\是∠BAC的两倍，是固定的120°，所以PP\=根号3PA，从而要使PP\最小，则PA要最小，这个就是我们熟悉的与圆有关的的最值：连接圆外一点与圆上各点的所有线段中，最短为连心线-半径！
当然，最后我们还是要算一下连心线AO，如果你能看出△ABO是直角三角形的话就更简单啦！
总结一下：
①多动点问题不要慌，先固定其中一个动点，降低动点个数，再去求此时的最短路径．这就是著名的“控制变量法”．
②对于①中每一个固定的点，均有一个对应的最短路径，找出所有最短路径中最小的那个即可，这主要取决于①中的最短路径是怎么算出来的（也就是函数关系）．
③熟悉各种最基本的最短路径问题，及其常见的变形．最好是增大阅读量，多了解一些课本之外的历史上著名的最短路径问题，保不准啥时候费马点或者施瓦茨三角形就出现哩！
拓展：施瓦茨三角形
