【题型方法】
一、如图2-4-1，点A、B分别位于直线l两侧，欲在直线l上找到一点P，使得PA+PB最短。
作法：如图2-4-2，连接AB，与直线l的交点P即为所求。
二、如图2-4-3，点A、B分别位于直线l异侧，欲在直线l上找到一点P，使得PA+PB最短。
作法：如图2-4-4，作点B关于直线l的对称点B‘，连接AB‘，与直线l的交点P即为所求（当然也可以作点A关于直线l的对称点A‘，连接A‘B，与直线l的交点P即为所求）。
当此类题目中问题变式为求△PAB的周长最小时，点P的位置作法与之相同。
三、如图2-4-5，在直线l上找到两点EF（点E在点F的左侧），EF的距离是定值，使得AE+EF+FB最小。
作法：如图2-4-6，过点A作AA‘‖l且AA‘＝EF，作点B关直线l的对称点B‘，连接A‘B‘与直线l的交点即为点F，过A作A‘F的平行线与直线l的交点即为点E。
四、如图2-4-7，直线a与直线b平行，在直线a上找到一点A，过点A作直线b的垂线交于点B，如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短。
作法：如图2-4-8，过点P作PD⊥a，交直线a于点C，交直线b于点D，在PD上截取PE＝CD，连接EQ，交直线b于点B，过点B作BA⊥a，垂足为点A，连接PA，此时点A即为所求。
这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题。
五、如图2-4-9，在直线l上找到一点M，使得|MA-MB|最小；直线l上找到一点N使得|NA-NB|最大。
作法：
①如图2-4-10，作AB的中垂线与直线l相交，交点即为M，此时|MA-MB|有最小值0；
②如图2-4-11，延长BA与直线l相交，交点即为N，此时|NA-NB|有最大值为AB。
六、如图2-4-12，点P是∠AOB内部一点，在OA上找到一点M，OB上找到一点N使得△PMN的周长最小。
作法：如图2-4-13，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，与OA的交点即为M，与OB的交点即为N，此时△PMN的周长最短。
七、如图2-4-14，点P是∠AOB内部一点，在OA上找到一点M，过点M作MN⊥OB交OB于点N，使得PM+MN最小。
作法：如图2-4-15，作点P关于OA的对称点Q，作QN⊥OB于点N，则QN与OA的交点即为M。
八、如图2-4-16，在△ABC中找到一点P，使得PA+PB+PC最小。
作法：如图2-4-17，分别以AB、BC、AC为边向外作等边三角形，连接AD、BE、CF的交点就是符合条件的点P。
九、如图2-4-18，△ABC是等腰直角三角形，点C是直角顶点，以C为圆心，1/2AB长为半径作圆，在⊙C上找到一点P，使得PA+√2/2PB最短。
作法：如图2-4-19，取BC的中点D，连接AD，则AD与⊙C的交点即为P。
在⊙C上任取一点P，连接PC、PB，易得△PCD∽△BCP，PD＝√2/2PB，当点P与AD共线时，所求的和最短。
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