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数学经典:详解卡尔达诺三次方程求根公式的推导原理

时间:2020-03-28 18:03:17

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数学经典:详解卡尔达诺三次方程求根公式的推导原理

卡尔达诺(1501年9月24日 ~1576年9月21日)是大利文艺复兴时期百科全书式的学者,他最著名的成就是推导出了三次代数方程的解法,即卡尔达诺公式

我们在处理3次方时,发现了一些很让人期待的东西,这两个中间项有公因式3uv

如果我们提出来,就得到这个东西

现在,我们能够这样对齐

如果我们能够设法找到u,v使得标颜色的区域对应相等,那么3次方程就能够转换成一个完美的3次方程,这样就能够求解了

这取决于能否求解绿色和黄色区域里的等式,这里的X=u+v

首先对绿色区域里的等式,两边进行3次方运算,黄色区域里的等式两边乘以v^3

这样得到了公共项,然后我们就能这样的带进去

这其实只是一个伪装过的2次方程,把v^3看成一个未知数,我们用2次求根公式求出v^3,然后两边开3次方根就得到这个式子

还记得吗,在这几个式子里,u和v时不可分割的,如果我们求u,我们得到的是同一个答案

现在答案有正负号,我们貌似对u和v每个都求出两个解,这样u+v就总共有3个可能

两个都是减号,两个都是加号,一加一减,一减一加得出的是同一个答案,而3次方程正好至多有3个根

然后把这三个根带入方程,你会发现,只有一加一减才是3次方程的一般解

为啥其他两个都是错误的呢?你能否想明白理由?

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