二次函数与几何综合之相似三角形存在性
先来看看这样一道题目:
这是一道二次函数与几何综合题,考查到相似三角形的存在性问题的探究:
题目
解题第一步,先整理和分析题干条件
题干中的四个条件逐一分析,与相关知识点结合,得到一些新的结论
分析第(1)问:
第一问考查的比较基础,根据已知条件求抛物线表达式和点的坐标,
解答第(1)问
先来解答第(1)问,这可是送分题,必须要熟练,
分析第(2)问:
第二问比较复杂,涉及到多个知识点,需要分多步来分析:
先求A′的坐标:
求出C2的关系式:
求出C2的关系式:
分类讨论相似的可能性 :
表示出各线段 :
求出C2的关系式:
解答第(2)问:
求出C2的关系式:
表示出点A′
求出C2的关系式:
表示出点P:
计算出△AMN各边长度,判断其形状:
分析P、A′、C为顶点的三角形形状,表示出相关边长:
以P、A′、C为顶点的三角形与△AMN中,都有一个直角,
再需满足两直角边对应正比例即可;
即以P、A′、C为顶点的三角形与△AMN相似有两种情况:
情况1
情况2
最终结果:
本题是二次函数与几何综合题,考查到以下知识点:
利用顶点式求二次函数表达式;
点与函数表达式;
函数图像上点的坐标的表示;
平面直角坐标系中两点间距离的表示;
平面直角坐标系中两点间距离公式;
抛物线关于y轴对称系数的特征;
勾股定理;
列方程并解方程;
相似三角形判定和性质;
取绝对值运算;
分类讨论思想;
存在性问题探究;
重难点梳理:
两抛物线对称的特征
相似三角形存在问题的分类讨论
平面直角坐标系中两点间距离公式
平面直角坐标系中两点间距离的表示:
二次函数与几何综合问题的解题思路:
根据点的特征表示出点的坐标,若点在函数图像上,一般先设出点的横坐标,再代入函数关系式,表示出纵坐标,再根据点的坐标标出出线段或计算出线段的长度;
然后再结合几何图形的性质进行分析,得关于表示点的坐标或线段长度之间的方程,然后解方程即可。