高等代数习题及答案(1)
篇一：高等代数习题解答(第一章)
高等代数习题解答
第一章多项式
补充题1．当a,b,c取何值时，多项式f(x)?x?5与g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等？
6136提示：比较系数得a??,b??,c?. 555
补充题2．设f(x),g(x),h(x)??[x]，f2(x)?xg2(x)?x3h2(x)，证明：f(x)?g(x)?h(x)?0．
证明假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立．若f(x)?0，则?(f2(x))为偶数，又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数，由于g2(x),h2(x)??[x]，首项系数(如果有的话)为正数，从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数，矛盾．若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数，而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数，矛盾．综上所证，f(x)?g(x)?h(x)?0．
1．用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)：
1)f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1；
2)f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2．
1)解法一待定系数法．
由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，
1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 3
1 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3
根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即
1 x3-3x
2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3
右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得
