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如果需要检测到图像里面的边缘，首先我们需要知道边缘处具有什么特征。
对于一幅灰度图像来说，边缘两边的灰度值肯定不相同，这样我们才能分辨出哪里是边缘，哪里不是。
因此，如果我们需要检测一个灰度图像的边缘，我们需要找出哪里的灰度变化最大。显然，灰度变化越大，对比度越强，边缘就越明显。
那么问题来了，我们怎么知道哪里灰度变化大，哪里灰度变化小呢？
导数，梯度，边缘信息
在数学中，与变化率有关的就是导数。
如果灰度图像的像素是连续的(实际不是)，那么我们可以分别原图像G对x方向和y方向求导数
，
获得x方向的导数图像Gx和y方向的导数图像Gy。Gx和Gy分别隐含了x和y方向的灰度变化信息，也就隐含了边缘信息。
如果要在同一图像上包含两个方向的边缘信息，我们可以用到梯度。（梯度是一个向量）
原图像的梯度向量Gxy为（Gx,Gy）,梯度向量的大小和方向可以用下面两个式子计算
角度值好像需要根据向量所在象限不同适当+pi或者-pi。
梯度向量大小就包含了x方向和y方向的边缘信息。
图像导数
实际上，图像矩阵是离散的。
连续函数求变化率用的是导数，而离散函数求变化率用的是差分。
差分的概念很容易理解，就是用相邻两个数的差来表示变化率。
下面公式是向后差分
x方向的差分：Gx(n,y) = G(n,y)-G(n-1,y)
y方向的差分：Gy(x,n) = G(x,n)-G(x,n-1)
实际计算图像导数时，我们是通过原图像和一个算子进行卷积来完成的(这种方法是求图像的近似导数)。
最简单的求图像导数的算子是Prewitt算子：
x方向的Prewitt算子为
y方向的Prewitt算子为
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原图像和一个算子进行卷积的大概过程如下
如果图像矩阵中一块区域为
那么x5处的x方向的导数是，将x方向算子的中心和x5重合，然后对应元素相乘再求和，即
x5处的x方向导数为x3+x6+x9-x1-x4-x7
对矩阵中所有元素进行上述计算，就是卷积的过程。
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因此，利用原图像和x方向Prewitt算子进行卷积就可以得到图像的x方向导数矩阵Gx，
利用原图像和y方向Prewitt算子进行卷积就可以得到图像的y方向导数矩阵Gy。
利用公式
就可以得到图像的梯度矩阵Gxy，这个矩阵包含图像x方向和y方向的边缘信息。
Python实现卷积及Prewitt算子的边缘检测
首先我们把图像卷积函数封装在一个名为imconv的函数中
importnumpy as npfrom PIL importImagedefimconv(image_array,suanzi):‘‘‘计算卷积
参数
image_array 原灰度图像矩阵
suanzi 算子
返回
原图像与算子卷积后的结果矩阵‘‘‘image= image_array.copy() #原图像矩阵的深拷贝
dim1,dim2=image.shape#对每个元素与算子进行乘积再求和(忽略最外圈边框像素)
for i in range(1,dim1-1):for j in range(1,dim2-1):
image[i,j]= (image_array[(i-1):(i+2),(j-1):(j+2)]*suanzi).sum()#由于卷积后灰度值不一定在0-255之间，统一化成0-255
image = image*(255.0/image.max())#返回结果矩阵
return image
然后我们利用Prewitt算子计算x方向导数矩阵Gx，y方向导数矩阵Gy，和梯度矩阵Gxy。
importnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt#x方向的Prewitt算子
suanzi_x = np.array([[-1, 0, 1],
[-1, 0, 1],
[-1, 0, 1]])#y方向的Prewitt算子
suanzi_y = np.array([[-1,-1,-1],
[ 0, 0, 0],
[1, 1, 1]])#打开图像并转化成灰度图像
image = Image.open("pika.jpg").convert("L")#转化成图像矩阵
image_array =np.array(image)#得到x方向矩阵
image_x =imconv(image_array,suanzi_x)#得到y方向矩阵
image_y =imconv(image_array,suanzi_y)#得到梯度矩阵
image_xy = np.sqrt(image_x**2+image_y**2)#梯度矩阵统一到0-255
image_xy = (255.0/image_xy.max())*image_xy#绘出图像
plt.subplot(2,2,1)
plt.imshow(image_array,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,2)
plt.imshow(image_x,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,3)
plt.imshow(image_y,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.subplot(2,2,4)
plt.imshow(image_xy,cmap=cm.gray)
plt.axis("off")
plt.show()
Prewitt算子的结果如下图所示
上方：左图为原图像，右图为x方向导数图像
下方：左图为y方向导数图像，右图为梯度图像
从图中可以看出，Prewitt算子虽然能检测出图像边缘，但是检测结果较为粗糙，还带有大量的噪声。
近似导数的Sobel算子
Sobel算子与Prewitt比较类似，但是它比Prewitt算子要好一些。
x方向的Sobel算子为
y方向的Sobel算子为
python代码只需要将上面代码中的Prewitt算子改成Sobel算子即可。
#x方向的Sobel算子
suanzi_x = np.array([[-1, 0, 1],
[-2, 0, 2],
[-1, 0, 1]])#y方向的Sobel算子
suanzi_y = np.array([[-1,-2,-1],
[ 0, 0, 0],
[1, 2, 1]])
Sobel算子的结果如下图所示
上方：左图为原图像，右图为x方向导数图像
下方：左图为y方向导数图像，右图为梯度图像
从图中看出，比较Prewitt算子和Sobel算子，Sobel算子稍微减少了一点噪声，但噪声还是比较多的。
未完，待续
参考列表
1.《python计算机视觉编程》
原文：/smallpi/p/4555854.html
