一、欧几里德定理
欧几里德定理就是辗转相除法的原理，用来求两个整数的最大公约数gcd(a, b)。
推理过程：
辗转相除法是由辗转相减法而来的，如果a和b（假设a>b）的最大公约数是k，那么可以这样表示a和b：
a = x*k, b = y*k；
那么a-b = (x-y)*k，此时(a-b)和b的最大公约数也是k，因为：
如果它俩的最大公约数是k*t的话，那么b可以整除k*t，(a-b)也可以整除k*t，这样的话就可以得出a也可以整除k*t，则a和b的最大公约数是k*t，与假设矛盾。
所以b和(a-b)的最大公约数也是k。
以此方法，反复辗转相减，必定得到最后a=k,b=0，即求出k。
但是减法比较慢，如果a比b大很多的话，需要减好多次，如果用除（取余）的方法就快多了。
代码见下（默认a>b，在传入参数的时候需注意）：
递归法：
int gcd(int a, int b){return b == 0? a : gcd(b, a%b);}
非递归法：
int gcd(int a, int b){while(b){int tmp = b;b = a % b;a = tmp;}return a;}
二、拓展欧几里德定理
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
1、求解不定方程
拓展欧几里德定理是求这样一个方程的解：ax+by=gcd(a, b)其中a、b是不全为0的整数。
（a、b可能为负数，x、y也可能有负数）
int exgcd(int a,int b，int &x, int &y){int t,d;if(b==0){x=1;y=0; //注释1return a;}d=exgcd(b,a%b,x,y);t=x;x=y;y=t-(a/b)*y; //注释2return d;}
注释1：当b=0时，方程变成了ax = gcd(a, 0) = a，所以x=1, y=0是它的解。
注释2：设x、y为当前递归的值，对应a、b；x1、y1为下次递归的值，对应b、a%b。因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以ax +by = b*x1 + (a%b)*y1 = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1 = a*y1 +b*(x1-(a/b)*y1)，即ax +by = a*y1 +b*(x1-(a/b)*y1)，所以本层循环的x是下层循环的y1，y是x1-(a/b)*y1。（以上除法都是整除法）
如果求的是方程ax + by = c的解，那么（同时放缩）（如果c不能整除gcd(a,b)，那么无整数解）
x=x0*(c/gcd(a,b))
y=y0*(c/gcd(a,b))
如果求所有解的话：
x=x0+b/d*t;
y=y0-a/d*t;
其中t为任意数
因为如果x加个数想要保持结果还是c的话，y就需要减去一个数。当a*x0 + b*y0 = c时，
a*x + b*y = a*(x0 + b/d*t) + b*(y0 - a/d*t) =a*x0 + ab/d*t + b*y0 - ab/d*t =a*x0 + b*y0 = c。
下面代码是求方程ax + by = c的一组解：
#include <stdio.h>#include <iostream>using namespace std;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){int t, d;if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}d = exgcd(b, a%b, x, y);t=x;x=y;y=t-(a/b)*y; //不明处2return d;}int main(){int a, b, c, x, y;while(cin>>a>>b>>c){int d = exgcd(a, b, x, y);double X = x*(1.0*c/d);double Y = y*(1.0*c/d);cout<<X<<" "<<Y<<endl;}}
2、求解模线性方程
用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
同余方程ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n)相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n)(由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下：
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n){int x,y,x0,i;int d=exgcd(a,n,x,y);if(b%d)return false;x0=x*(b/d)%n; //特解for(i=1;i<d;i++)printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);return true;}
3、用欧几里德算法求模的逆元：
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。 这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程 ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
参考自： /frog112111/archive//08/19/2646012.html
