微分几何 黎曼几何思想

微分几何、黎曼几何思想

（1）物理规律与坐标选取无关

尽管任何有用的实际计算都是在某个坐标系下进行的，但计算结果表达的物理规律却是独立于坐标系而存在的。这也是为什么要将描述的物理规律的方式式写成‘张量’形式的原因。因为张量的坐标分量在坐标变换下做线性其齐次变换。线性表明张量属于切空间，其次表明张量与坐标系选择无关。

（2）内蕴的思想。

微分几何所有概念和结论都是内蕴的。就是说他们只和这个流形有关，和流形所在的大空间无关。

所以无非是要造一个在流形上处处有定义的矩阵，并且这个矩阵和坐标无关。怎么才叫和坐标无关呢？这就引出了我们说的协变规律反变规律等等。从张量上来重新定义度量，因为张量是内蕴概念，只和这个流形有关。

在黎曼几何中，需要赋以流形一个度规，度规有了就可以计算弧长，然后可以计算面积，角度，高斯曲率等一系列内蕴几何量。

黎曼流形是定义了一个对称正定度规张量场g的微分流形，为了在黎曼流形上做微分运算，需在相邻点的切空间之间引进‘联络’的概念。具体的说，就是用列维——齐维塔联络。将不同切空间中的不同的度规张量关联起来。而作为联络坐标表达式的克里斯图菲尔符号，只与度规张量和度规张量的微分有关。