几何变换详解：平移缩放旋转

声明：此文章主要参考两位大佬的博客，参考文章在文末。

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平移变换缩放变换旋转变换绕X轴旋转绕Y轴旋转绕Z轴旋转绕坐标轴旋转的矩阵推导逆矩阵代码实战1.平移2.缩放3.旋转参考文章

本文介绍图像三种主要的几何变换：平移、缩放、旋转。

平移变换

将三维空间中的一个点 [x,y,z,1][x, y, z, 1][x,y,z,1] 移动到另外一个点 [x′,y′,z′,1][x', y', z', 1][x′,y′,z′,1] ，三个坐标轴的移动分量分别为 dx=Tx,dy=Ty,dz=Tzdx=Tx, dy=Ty, dz=Tzdx=Tx,dy=Ty,dz=Tz , 即

x′=x+Txx' = x + Txx′=x+Tx

y′=y+Tyy' = y + Tyy′=y+Ty

z′=z+Tzz' = z + Tzz′=z+Tz

平移变换的矩阵如下：

[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗A[x^{'},y^{'},z^{'},1]=[x,y,z,1]*A[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗A

A=(100001000010TxTyTz0)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ T_x & T_y & T_z & 0\\ \end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎛100Tx010Ty001Tz0000⎠⎟⎟⎞

缩放变换

将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是[x,y,z,1][x, y, z, 1][x,y,z,1]，变换后的点是[x′,y′,z′,1][x', y', z', 1][x′,y′,z′,1]，那么

x′=x∗Sxx' = x * S_xx′=x∗Sx

y′=y∗Syy' = y * S_yy′=y∗Sy

z′=z∗Szz' = z * S_zz′=z∗Sz

缩放变换的矩阵如下：

[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗B[x^{'},y^{'},z^{'},1]=[x,y,z,1]*B[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗B

B=(Sx0000Sx0000Sx00001)B = \begin{pmatrix} S_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_x & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}B=⎝⎜⎜⎛Sx0000Sx0000Sx00001⎠⎟⎟⎞

旋转变换

绕X轴旋转

旋转的正方向为顺时针方向。

绕X轴旋转变换的矩阵如下：

[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗C1[x^{'},y^{'},z^{'},1]=[x,y,z,1]*C_1[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗C1

C1=(10000cos⁡θsin⁡θ00−sin⁡θcos⁡θ00001)C_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}C1=⎝⎜⎜⎛10000cosθ−sinθ00sinθcosθ00001⎠⎟⎟⎞

绕Y轴旋转

绕Y轴旋转变换的矩阵如下：

[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗C2[x^{'},y^{'},z^{'},1]=[x,y,z,1]*C_2[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗C2

C2=(cos⁡θ0−sin⁡θ00100sin⁡θ0cos⁡θ00001)C_2 = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}C2=⎝⎜⎜⎛cosθ0sinθ00100−sinθ0cosθ00001⎠⎟⎟⎞

绕Z轴旋转

绕Z轴旋转变换的矩阵如下：

[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗C3[x^{'},y^{'},z^{'},1]=[x,y,z,1]*C_3[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]∗C3

C3=(cos⁡θsin⁡θ00−sin⁡θcos⁡θ0000100001)C_3 = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}C3=⎝⎜⎜⎛cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001⎠⎟⎟⎞

绕坐标轴旋转的矩阵推导

上面三种绕坐标轴旋转的情况属于特殊的二维旋转，比如绕Z轴旋转，相当于在与XOYXOYXOY平面上绕原点做二维旋转。

假设点P(x,y)P(x, y)P(x,y)是平面直角坐标系内一点，其到原点的距离为rrr，其与XXX轴的夹角为AAA，现将点PPP绕原点旋转θθθ度，得到点P′(x′,y′)P'(x', y')P′(x′,y′)，P′P'P′与XXX轴的夹角为BBB，则A=B−θA = B - θA=B−θ。（注意，在二维坐标中，逆时针旋转时角度为正，顺时针旋转时角度为负，下图中由PPP旋转到P′P'P′，角度为θθθ，若是由P′P'P′转到PPP，则角度为−θ-θ−θ）。

得到下面的转换方程：

写成矩阵的形式：

求得旋转矩阵：

由于这里使用齐次坐标，所以还需加上一维，最终变成如下形式：

（绕Z轴旋转变换矩阵）

对于绕X轴旋转的情况，我们只需将式一中的x用y替换，y用z替换，z用x替换即可：

（绕X轴旋转变换矩阵）

（绕Y轴旋转变换矩阵）

逆矩阵

平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反：

旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反：

![在这里插入图片描述](https://img-/170641358.pn

g?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMzE3MjA0,size_16,color_FFFFFF,t_70)缩放变换的逆矩阵正好和原来的效果相反，如果原来是放大，则逆矩阵是缩小，如果原来是缩小，则逆矩阵是放大：

代码实战

1.平移

图像平移：设（x0, y0）是缩放后的坐标，（x, y）是缩放前的坐标，dx、dy为偏移量，则公式如下：

图像平移首先定义平移矩阵M，再调用warpAffine()函数实现平移，核心函数如下：

M = np.float32([[1, 0, x], [0, 1, y]])

shifted = cv2.warpAffine(image, M, (image.shape[1], image.shape[0]))

（注：M作为仿射变换矩阵，一般反映平移或旋转的关系，为InputArray类型的2×3的变换矩阵）

cv2.imread()和cv2.cvtColor() 的使用

cv2.warpAffine 参数详解

import cv2import numpy as np# 读取图片img = cv2.imread('my goddess zhang.jpg')image = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)# 图像平移下、上、右、左平移M = np.float32([[1, 0, 0], [0, 1, 100]])img1 = cv2.warpAffine(image, M, (image.shape[1], image.shape[0]))M = np.float32([[1, 0, 0], [0, 1, -100]])img2 = cv2.warpAffine(image, M, (image.shape[1], image.shape[0]))M = np.float32([[1, 0, 100], [0, 1, 0]])img3 = cv2.warpAffine(image, M, (image.shape[1], image.shape[0]))M = np.float32([[1, 0, -100], [0, 1, 0]])img4 = cv2.warpAffine(image, M, (image.shape[1], image.shape[0]))# 显示图形cv2.imshow('original', image)cv2.imshow('down', img1)cv2.imshow('up', img2)cv2.imshow('right', img3)cv2.imshow('left', img4)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()

结果如下：

2.缩放

图像缩放主要调用resize()函数实现：

result = cv2.resize(src, dsize[, result[. fx[, fy[, interpolation]]]])

其中src表示原始图像，dsize表示缩放大小，fx和fy也可以表示缩放大小倍数，他们两个（dsize或fx\fy）设置一个即可实现图像缩放。

如：

方法1. result = cv2.resize(src, (160,160))

方法2. result = cv2.resize(src, None, fx=0.5, fy=0.5)

图像缩放：设（x0,y0）（x0, y0）（x0,y0）是缩放后的坐标，（x,y）（x, y）（x,y）是缩放前的坐标，sxsxsx、sysysy为缩放因子，则公式如下：

方法一：

import cv2# 读取图片src = cv2.imread('my goddess zhang.jpg')# 图像缩放result = cv2.resize(src, (200, 300))print(result.shape)# 显示图像cv2.imshow("src", src)cv2.imshow("result", result)# 等待显示cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()

方法二：

import cv2import numpy as np# 读取图片src = cv2.imread('my goddess zhang.jpg')rows, cols = src.shape[:2]print(rows, cols)# 图像缩放 dsize(列,行)result = cv2.resize(src, (int(cols * 0.6), int(rows * 1.2)))# 显示图像cv2.imshow("src", src)cv2.imshow("result", result)# 等待显示cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()

import cv2# 读取图片src = cv2.imread('my goddess zhang.jpg')rows, cols = src.shape[:2]print(rows, cols)# 图像缩放result = cv2.resize(src, None, fx=1.5, fy=1.5)# 显示图像cv2.imshow("src", src)cv2.imshow("result", result)# 等待显示cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()

3.旋转

图像旋转主要调用getRotationMatrix2D()函数和warpAffine()函数实现，绕图像的中心旋转，具体如下：

M = cv2.getRotationMatrix2D((cols/2, rows/2), 30, 1)

参数分别为：旋转中心、旋转度数、scale

rotated = cv2.warpAffine(src, M, (cols, rows))

参数分别为：原始图像、旋转参数、原始图像宽高

图像旋转：设（x0, y0）是旋转后的坐标，（x, y）是旋转前的坐标，(m,n)是旋转中心，a是旋转的角度，(left,top)是旋转后图像的左上角坐标，则公式如下：

import cv2# 读取图片src = cv2.imread('my goddess zhang.jpg')# 原图的高、宽以及通道数rows, cols, channel = src.shape# 绕图像的中心旋转# 参数：旋转中心旋转度数 scaleM1 = cv2.getRotationMatrix2D((cols / 2, rows / 2), 30, 1)M2 = cv2.getRotationMatrix2D((cols / 2, rows / 2), -60, 1)# 参数：原始图像旋转参数元素图像宽高rotated1 = cv2.warpAffine(src, M1, (cols, rows))rotated2 = cv2.warpAffine(src, M2, (cols, rows))# 显示图像cv2.imshow("src", src)# cv2.imshow("rotated", rotated1)cv2.imshow("rotated", rotated2)# 等待显示cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()

参考文章

/zhengxiuchen86/article/details/81951608

/Eastmount/article/details/82454335?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-3&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-3