矩陣LU分解求逆详细分析与C语言实现
题目要求
给定一个多维矩阵，实现该矩阵的求逆运算。
1、理论分析
矩阵的一种有效而广泛应用的分解方法是矩阵的LU三角分解，将一个n阶矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。所以首先对矩阵进行三角分解，这里采用Doolittle分解，即分解为一个下三角矩阵(对角元素为1)，和一个上三角矩阵的乘积。再进行相应的处理。
所以，矩阵求逆的算法流程可表述如下：
图1 矩阵求逆流程图
1)进行LU分解；
2)对分解后的L阵(下三角矩阵)和U阵(上三角矩阵)进行求逆;；
3)L阵的逆矩阵和U阵的逆矩阵相乘，即可求得原来矩阵的逆。即：
(1)
1.1矩阵的LU 分解
若n阶方阵 的各阶顺序主子式不等于零，即：
(2)
则A的LU分解存在且唯一。
(3)
由矩阵的乘法原理, 可推导出LU分解的迭代算法
(4)
(5)
(6)
(7)
矩阵的LU分解是一个循环迭代的过程, U矩阵是从第1行迭代到第n行, 而L矩阵则是从第1列迭代到第n列, 且U矩阵先于L矩阵一个节拍。
1.2 L矩阵和U矩阵求逆
首先假设下三角矩阵L的逆矩阵为，不失一般性，考虑4阶的情况，利用，有：
(1) ，，；
(2)
(3)
(4)。
从而求得下三角矩阵L的逆矩阵R式如下：
， (8)
上三角矩阵U的逆矩阵可以由下式得到：。
， (9)
矩阵求逆是一个迭代的过程，依次循环, 迭代次, 求出整个逆矩阵。其中U矩阵的循环迭代时按行顺序，列倒序进行，L矩阵的循环迭代按列顺序，行顺序进行，直到计算出整个矩阵的所有结果为止。
1.3 矩阵相乘
上三角矩阵U的逆矩阵u与下三角矩阵L的逆矩阵相乘, 最终得到原始矩阵A的逆矩阵, 完成整个矩阵求逆的过程。对于n阶矩阵相乘的迭代形式可表示如下：
(10)
1.4 实例分析
例：给定一4阶矩阵，通过LU分解求逆矩阵。
解：算法过程为：，
第一步：求LU矩阵
设，通过(4)~(7)式可逐步进行矩阵L和U中元素的计算，如下所示：
经迭代计算，最后得到L和U矩阵为：
第二步：求L和U矩阵的逆,
(1)求U矩阵的逆
由式(9)可得矩阵U的逆的各元素计算如下：
(2)求L矩阵的逆
由(8)式可得L矩阵的逆的各元素计算如下
所以得到L和U的逆矩阵为：
(3)求A的逆矩阵
由式(10)可计算得到矩阵A的逆，如下：
由程序计算出的结果如下：
2、C语言程序设计及测试
2.1 算法c程序实现
#include
#include
#define N 4
void main()
{ float a[N][N];
float L[N][N],U[N][N],out[N][N], out1[N][N];
float r[N][N],u[N][N];
memset( a , 0 , sizeof(a));
memset( L , 0 , sizeof(L));
memset( U , 0 , sizeof(U));
memset( r , 0 , sizeof(r));
memset( u , 0 , sizeof(u));
int n=N;
int k,i,j;
int flag=1;
float s,t;
input a matrix
printf("\ninput A=");
for(i=0;i
for(j=0;j
scanf("%f",&a[i][j]);
//figure the input matrix//
printf("输入矩阵:\n");
for(i=0;i
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
printf("%lf ", a[i][j]);
}
printf("\n");
}
for(j=0;j
a[0][j]=a[0][j]; //计算U矩阵的第一行
for(i=1;i
a[i][0]=a[i][0]/a[0][0];
