作者：长行
时间：.03.11
统计学解释
峰度：峰度是衡量一组数据分布曲线的陡峭程度。其定义式如下：
kurtosis=E[(X−μσ)4]=μ4σ4=E[(X−μ)4](E[(X−μ)2])2kurtosis=E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^4]=\frac{\mu_4}{\sigma^4}=\frac{E[(X-\mu)^4]}{(E[(X-\mu)^2])^2} kurtosis=E[(σX−μ)4]=σ4μ4=(E[(X−μ)2])2E[(X−μ)4]
其中μ\muμ为均值，σ\sigmaσ为标准差，μ4\mu_4μ4为四阶中心距。
但是通常而言，我们不会用定义式来计算峰度，而是使用其他的计算公式，例如如下的峰度计算公式（应用于SPSS）：
kurtosis=(n+1)n(n−1)(n−2)(n−3)∑i=1n(xi−x‾)4(∑i=1n(xi−x‾)2)2−3(n−1)2(n−2)(n−3)kurtosis=\frac{(n+1)n(n-1)}{(n-2)(n-3)}\frac{\sum^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})^4}}{(\sum^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})^2})^2}-3\frac{(n-1)^2}{(n-2)(n-3)} kurtosis=(n−2)(n−3)(n+1)n(n−1)(∑i=1n(xi−x)2)2∑i=1n(xi−x)4−3(n−2)(n−3)(n−1)2
其中xix_ixi样本均值。
若峰度大于0，则说明该组数据的分布曲线相较于正态分布更加陡峭；若峰度小于0，则说明该组数据的分布曲线相较于正态分布更加平缓。换言之，峰度越大，则数据在靠近均值的部分分布得越多，在距离均值较远的部分分布得较少。
下面我们通过几个例子来熟悉峰度的分布特征：
例1：当靠近均值部分的数据分布得越多时，峰度越高
数据 [1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5] 的峰度为 -2.098
数据 [1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5] 的峰度为 -1.328
数据 [1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,5] 的峰度为 3.554
例2：当远离均值的数据分布得越分散时，峰度越高
数组 [1,4,5,6,9] 的峰度为 0.893
数组 [3,4,5,6,7] 的峰度为 -1.200
实现代码
import mathimport numpydata_test=[1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5] # # 定义测试数据def peakedness(data):n = len(data) #样本个数average=numpy.mean(data) #计算平均值k1=n*(n+1)*(n-1)/(n-2)/(n-3)k2=3*(n-1)**2/(n-2)/(n-3)m2=0;m4=0for i in data:m4+=(i-average)**4m2+=(i-average)**2peakedness=k1*m4/m2**2-k2return peakednessprint('peakedness =',peakedness(data_test))
结果
peakedness = -0.5076923076923086
实际应用
1.峰度可以用来衡量风险，同样的方差下，峰度越高，越容易取极端值。例如某一金融产品收益率的峰度很高，那么该金融产品的风险系数就会较大。
2.峰度可以帮助用来衡量众数的统计学意义。峰度越高，众数在描述该组数据的集中趋势的作用就越显著。
