多目标优化——帕累托最优Pareto

多目标优化——帕累托最优Pareto

0.前言

本文是本人在学习过程中为便于记忆利用博客进行总结，期待与各位大佬共同学习交流

什么是多目标优化

在了解帕累托最优之前，我们先来讨论一下，什么是多目标优化（Multiobjective Optimization Problem, MOP）。

通俗来讲，多目标优化是指在一个问题中，需要同时解决/改善多个目标。这些目标通常情况下是存在相互影响的，也就是当我优化了A目标后，可能待优化的其他目标B、C会变得更糟糕。所以这些目标可能无法同时达到最优情况,多目标优化要做的事情，就是尽可能的找到一定范围内的最佳状态。

举个例子：当我们在买车的时候希望花最少的钱、买最好的性能、以及最高的舒适度。显然这是不可能的，而多目标优化问题，就是在一定范围内寻优，即我以较低的价格、买一辆性能较好、舒适度较高的车。

多目标优化问题的两类方法

第一类方法是将多目标优化问题化简为单目标优化问题，主要通过将不同的目标函数加权，并将其组合在一个目标函数中进行完成，其主要思想就是转化为单目标优化问题。

第二类方法就是今天主要记录的 帕累托最优（Pareto），其主要思想是首先对不同目标优先级或权重进行明确，然后视图找到优化条件在不同权重下各为最优解的一组解（成为Pareto解集），然后根据决策者的偏好或应用场景决定选择哪个解。

Pareto最优

一、首先，我们要先给出多目标优化的定义：

其中：u∈Ω，为决策向量，Ω为决策空间；

y∈Y，为目标向量，Y为目标函数空间。、

二、接下来，我们要了解Pareto支配的定义：

其中u、v为决策空间Ω中的两个决策向量，即决策向量u在所有目标函数中，都优于决策向量v，则称：u支配v。

三、了解Pareto最优解 与 Pareto解集

既然这样，如果不存在一个决策向量可以支配决策向量u，即在决策空间中，找不到其他的决策向量能够由于u，则称决策向量u为Pareto最优解，也称为 非支配解。

所有Pareto最优解所组成的集合，称为Pareto解集。表示如下：

四、Pareto前沿

所有Pareto解集在目标空间的投影，称为Pareto前沿