多目标优化——帕累托最优Pareto
0.前言
本文是本人在学习过程中为便于记忆利用博客进行总结,期待与各位大佬共同学习交流
什么是多目标优化
在了解帕累托最优之前,我们先来讨论一下,什么是多目标优化(Multiobjective Optimization Problem, MOP)。
通俗来讲,多目标优化是指在一个问题中,需要同时解决/改善多个目标。这些目标通常情况下是存在相互影响的,也就是当我优化了A目标后,可能待优化的其他目标B、C会变得更糟糕。所以这些目标可能无法同时达到最优情况,多目标优化要做的事情,就是尽可能的找到一定范围内的最佳状态。
举个例子:当我们在买车的时候希望花最少的钱、买最好的性能、以及最高的舒适度。显然这是不可能的,而多目标优化问题,就是在一定范围内寻优,即我以较低的价格、买一辆性能较好、舒适度较高的车。
多目标优化问题的两类方法
第一类方法是将多目标优化问题化简为单目标优化问题,主要通过将不同的目标函数加权,并将其组合在一个目标函数中进行完成,其主要思想就是转化为单目标优化问题。
第二类方法就是今天主要记录的 帕累托最优(Pareto),其主要思想是首先对不同目标优先级或权重进行明确,然后视图找到优化条件在不同权重下各为最优解的一组解(成为Pareto解集),然后根据决策者的偏好或应用场景决定选择哪个解。
Pareto最优
一、首先,我们要先给出多目标优化的定义:
其中:u∈Ω,为决策向量,Ω为决策空间;
y∈Y,为目标向量,Y为目标函数空间。、
二、接下来,我们要了解Pareto支配的定义:
其中u、v为决策空间Ω中的两个决策向量,即决策向量u在所有目标函数中,都优于决策向量v,则称:u支配v。
三、了解Pareto最优解 与 Pareto解集
既然这样,如果不存在一个决策向量可以支配决策向量u,即在决策空间中,找不到其他的决策向量能够由于u,则称决策向量u为Pareto最优解,也称为 非支配解。
所有Pareto最优解所组成的集合,称为Pareto解集。表示如下:
四、Pareto前沿
所有Pareto解集在目标空间的投影,称为Pareto前沿