写这篇文章不在于讲述泊松分布性质，而只是证明泊松分布。
当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似。
概率相加为1证明
由分布律的定义知道，分布律应符合：
∑i=0npi=∑P{X=i}=1\sum_{i=0} ^{n} p_{i} =\sum P\{X=i\}=1∑i=0npi=∑P{X=i}=1
泊松分布为离散型随机变量，公式：
P{X=k}=λke−λk!,k=0,1,...nP\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,...nP{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,...n
证明概率相加为1。
∑0∞P{x=k}=∑0∞λke−λk!=e−λ∑0∞λkk!\sum_{0}^{\infty}P\{x=k\}=\sum_{0}^{\infty}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda} \sum_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}0∑∞P{x=k}=0∑∞k!λke−λ=e−λ0∑∞k!λk
其中：
∑0∞λkk!=eλ\sum_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}0∑∞k!λk=eλ
这是无穷级数exe^xex的展开式：
f(x)=ex=1+x+12!x2+.....1k!xkf(x)=e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+.....\frac{1}{k!}x^kf(x)=ex=1+x+2!1x2+.....k!1xk
当x=λ\lambdaλ时，有
f(λ)=∑0∞λkk!=eλf(\lambda)= \sum_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}f(λ)=0∑∞k!λk=eλ
那么泊松分布：
∑P{X=k}=e−λeλ=1\sum P\{X=k\}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1∑P{X=k}=e−λeλ=1
证毕
