5.1.3线性相关与线性无关
定义1
设VVV是数域FFF上的线性空间，α1,α2,⋯,αn∈V\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in Vα1,α2,⋯,αn∈V,如果FFF中存在nnn个不全为零的数k1,k2,⋯,knk_1,k_2,\cdots,k_nk1,k2,⋯,kn使得∑i=1nkiαi=θ\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=\thetai=1∑nkiαi=θ则称
α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性相关，否则称α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性无关.
线性无关亦可等价叙述为：
如果对FFF中nnn个数k1,k2,⋯,knk_1,k_2,\cdots,k_nk1,k2,⋯,kn当∑i=1nkiαi=θ\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=\thetai=1∑nkiαi=θ时，必可推出ki=0(i=1,2,⋯,n)k_i=0(i=1,2,\cdots,n)ki=0(i=1,2,⋯,n)
或者说，
只要k1,k2,⋯,knk_1,k_2,\cdots,k_nk1,k2,⋯,kn不全为0，则∑i=1nkiαi\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_ii=1∑nkiαi必不为θ\thetaθ.
定义2
设VVV是数域FFF上的线性空间，对向量α1,α2,⋯,αn∈V\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in Vα1,α2,⋯,αn∈V,数k1,k2,⋯,kn∈Fk_1,k_2,\cdots,k_n\in Fk1,k2,⋯,kn∈F,则称∑i=1nkiαi\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_ii=1∑nkiαi是α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn的一个线性组合.如果向量β\betaβ能够写成∑i=1nkiαi\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_ii=1∑nkiαi,则称β\betaβ可以由α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性表出.或者说β\betaβ是α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn的线性组合.
定义3
设α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn与β1,β2,⋯,βm\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_mβ1,β2,⋯,βm是线性空间VVV中两组向量，如果每个αi(i=1,2,⋯,n)\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)αi(i=1,2,⋯,n)都可以由向量组β1,β2,⋯,βm\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_mβ1,β2,⋯,βm线性表出，我们就称向量组α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn可由向量组β1,β2,⋯,βm\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_mβ1,β2,⋯,βm线性表出.若两个向量组可以互相线性表出，就称这两个向量组等价.
定理1
设VVV是一个线性空间，α1,α2,⋯,αn(n≥2)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n(n \ge 2)α1,α2,⋯,αn(n≥2)是VVV中向量，则α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性相关的充分必要条件是α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn中必有一个向量αi\alpha_iαi可由其余的α1,⋯,αi−1,αi+1,⋯,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_nα1,⋯,αi−1,αi+1,⋯,αn线性表出.
定理2
设VVV是一个线性空间，α1,α2,⋯,αn,β\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\betaα1,α2,⋯,αn,β是VVV中的向量，若α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性无关，而α1,α2,⋯,αn,β\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\betaα1,α2,⋯,αn,β线性相关，则β\betaβ可由α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性表出，且表示法唯一.
定理3
设α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn与β1,β2,⋯,βm\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_mβ1,β2,⋯,βm是线性空间VVV中的两组向量，若α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn可由β1,β2,⋯,βm\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_mβ1,β2,⋯,βm线性表出，且n>mn>mn>m，则α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性相关.⇓\Downarrow⇓
推论：
如果α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn可由β1,β2,⋯,βn\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_nβ1,β2,⋯,βn线性表出，且α1,α2,⋯,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nα1,α2,⋯,αn线性无关，则m≥nm\ge nm≥n.
