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有没有一些能让你曾经引以为豪的数理方程或者公式或者定律的发现？ - Mr.Bo的回答 - 知乎 /answer/1875709958
两体问题方程：r+μr3r=f
有了这个，可以描述太阳与地球，太阳与行星，地球与月球，航天器与地球，双子星等等两体系统的运动问题
图1 两体运动图
在惯性坐标系OXYZ中，两个物体A1,A2可以被视为质点，质量分别为m1,m2
，C为两体系统的质心，A1,A2,C在惯性空间中的位置为r1,r2,rc,A1和A2的距离为r，相互间的万有引力为F1,F2，F为作用在A1上的外力，那么就有：
m1r1-rc+m2r2-rc=0
根据几何关系，有：
r=r1-r2
解出r1,r2，就有：
r1=rc+m2m1+m2r
r2=rc-m1m1+m2r
根据牛顿第二定律：
F1+F=m1r1
F2=m2r2
因为两体间万有引力互为作用力和反作用力，有：
F1=-F2
从r1,r2的式中消去r,并对时间求二阶导数就有：
m1rc+m2m1+m2r-F=-m2rc-m1m1+m2r
rcm1+m2=F
如果两体之间只有内力，那么F=0,就有rc=0，这个式子就说明不论每个物体的运动是怎样的，质心加速度始终为0，对于N体问题也一样。
现在我们将万有引力公式：F2=Gm1m2rr3代入：
F1=-F2=-Gm1m2rr3=m1rc+m2m1+m2r-F
F2=m2rc-m1m1+m2r
上述两式相减，就可以得到：-Gm1m2rr3=-r+f,f=Fm1，即A1受到的外力
整理，令μ=Gm1+m2，即两体系统的引力常数，得：
r+μr3r=f
这就是求解两体系统相对运动的基本动力学方程，真的很美，接下来再讨论其动量矩：
设h=r×r=r×v,h为A1体上单位质量相对于A2的动量矩，对上式子求导就有：
h=dr×rdt=r×r+r×r
如果系统没有外力，那么：
r=-μr3r
显然，h=0，则 h=const ，那么就意味着动量矩守恒的两体相对运动处在一个保持方向不变的平面里，为通过质心的平面运动，推到这里我大呼amazing。
此外，两体系统的动能还可以表示为两体质心的动能（平动）和两体绕质心转动动能的和。
解两体运动的微分方程，还可以得到相对运动的轨道方程为：
r=h2/μ1+ecosθ=p1+ecosθ
这里就更amazing了，圆锥曲线p和e两个参数就决定了轨道的类型：
e=0，圆轨道，0<e<1,椭圆轨道，e=1，抛物线轨道，e>1，双曲线轨道
这里给出上面轨道方程的得出过程：
对r+μr3r=f微分方程进行降阶，用h=r×v叉乘微分方程的齐次式形式，有：
r×h+μr3r×r×v=0
这里用矢量叉乘公式：a×b×c=a⋅cb-a⋅bc
那么上式第二项就为：
r×r×v=r⋅rr-r⋅rr=12rdr⋅rdt-r2r=-r3ddtrr
代入，有：
drdt×h-μddtrr=0
因为h=const,对上式积分，有：
r×h-μrr=c
c就是积分常矢，由r，r初值决定
再次改写：
ddtr×h=μrr+e\e=c/
e就为偏心矢量，它的代数值e就是偏心率。
再用h点乘上式，就有：
h⋅ddtr×h=μh⋅rr+h⋅e
动量矩h和r，r是垂直的，因此h⋅e=0，现在我们来求解微分方程：
用r点乘ddtr×h=μrr+e，有：
r⋅r×h=μr⋅rr+e=μr1+ecosθ,θ=<e,r>
再应用矢量叉乘公式就可以得到：
h2=μr1+ecosθ
那么相对运动的轨迹方程就为：
r=h2/μ1+ecosθ=p1+ecosθ
