高等数学 附答案
第四章 中值定理与导数的应用
习题4-1
1、验证下列各题,确定 的值： (1)对函数y sinx在区间[
5
6,6,
]上验证罗尔定理；
解：显然y f(x) sinx C[
且f() f(
5
5
],f(x) D(,)，
6666
5 1
) ,可见罗尔定理条件成立；
662
3 5
(,),有f ( ) cos 0, 而f (x) cosx,取
26662
所以罗尔定理结论成立.
(2)对函数y 4x 6x 2在区间[0,1]上验证拉格朗日中值定理； 解：显然y f(x) 4x 6x 2 C[0,1],f(x) D(0,1)，
可见拉格朗日中值定理条件成立；而
3
2
3
2
f (x) 12x2 12x
x1,2
,令
f(1) f(0)
4 ( 2) 2,
1 0
12x2 12x 2,得
6 36 243 3
,
126
f(1) f(0)3 3
取 , (0,1),有f ( )
1 06
所以拉格朗日中值定理结论成立.
3
2
(3)对函数f(x) x及g(x) x 1在区间[0,1]上验证柯西中值定理.
解：显然f(x),g(x) C[0,1],f(x),g(x) D(0,1),
且g (x) 2x 0,x (0,1),可见柯西中值定理条件成立；
2f(1) f(0)1 0f (x)3x23
令 1 x,得x ,
3g(1) g(0)2 1g (x)2x2
