笔记：离散时间形式的索洛模型

设Yt=F(k,AL),At+1=(1+g)At,Lt+1=(1+n)Lt,Kt+1=Kt+sYt−δKtY_t=F(k,AL),A_{t+1}=(1+g)A_t,L_{t+1}=(1+n)L_t,K_{t+1}=K_t+sY_t-\delta K_tYt​=F(k,AL),At+1​=(1+g)At​,Lt+1​=(1+n)Lt​,Kt+1​=Kt​+sYt​−δKt​

求kt+1k_{t+1}kt+1​

首先

Kt+1=Kt+sYt−δKtK_{t+1}=K_t+sY_t-\delta K_tKt+1​=Kt​+sYt​−δKt​

两边除以At+1Lt+1A_{t+1}L_{t+1}At+1​Lt+1​

kt+1=Kt+1At+1Lt+1=(1−δ)kt+sf(kt)(1+g)(1+n)k_{t+1}=\frac{K_{t+1}}{A_{t+1}L_{t+1}}=\frac{(1-\delta)k_t+sf(k_t)}{(1+g)(1+n)}kt+1​=At+1​Lt+1​Kt+1​​=(1+g)(1+n)(1−δ)kt​+sf(kt​)​收敛性

kt+1k_{t+1}kt+1​的表达式改写为

kt+1=1−δ(1+g)(1+n)kt+s(1+g)(1+n)f(kt)k_{t+1}=\frac{1-\delta }{(1+g)(1+n)}k_t+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f(k_t)kt+1​=(1+g)(1+n)1−δ​kt​+(1+g)(1+n)s​f(kt​)

一阶导

∂kt+1∂kt=1−δ(1+n)(1+g)+s(1+g)(1+n)f′(kt)>0\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}=\frac{1-\delta }{(1+n)(1+g)}+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f'(k_t)>0∂kt​∂kt+1​​=(1+n)(1+g)1−δ​+(1+g)(1+n)s​f′(kt​)>0

二阶导

∂2kt+1∂kt2=s(1+n)(1+g)f′′(kt)<0\frac{\partial^2 k_{t+1}}{\partial k_t^2}=\frac{s}{(1+n)(1+g)}f''(k_t)<0∂kt2​∂2kt+1​​=(1+n)(1+g)s​f′′(kt​)<0

验证稻田条件

lim⁡k→0∂kt+1∂kt=∞lim⁡k→∞=1−δ(1+n)(1+g)<1\lim \limits_{k\rightarrow 0}\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}=\infty\\ \lim_{k\rightarrow \infty}=\frac{1-\delta }{(1+n)(1+g)}<1k→0lim​∂kt​∂kt+1​​=∞k→∞lim​=(1+n)(1+g)1−δ​<1

所以图像为

所以任何大于0的资本存量都会收敛于k∗k^*k∗。

单位有效劳动的消费表达式

单位有效劳动的消费为

c∗=(1−s)f(k∗)c^*=(1-s)f(k^*)c∗=(1−s)f(k∗)

现在求s。

在平衡增长路径上kt+1=ktk_{t+1}=k_tkt+1​=kt​,标记为k∗k^*k∗,那么

k∗=1−δ(1+g)(1+n)k∗+s(1+g)(1+n)f(k∗)k∗[(1+g)(1+n)−1+δ]=sf(k∗)k∗=sf(k∗)g+n+ng+δk^*=\frac{1-\delta }{(1+g)(1+n)}k^*+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f(k^*)\\\quad\\ k^*[(1+g)(1+n)-1+\delta]=sf(k^*)\\\quad\\k^*=\frac{sf(k^*)}{g+n+ng+\delta}k∗=(1+g)(1+n)1−δ​k∗+(1+g)(1+n)s​f(k∗)k∗[(1+g)(1+n)−1+δ]=sf(k∗)k∗=g+n+ng+δsf(k∗)​

进而

s=k∗(g+n+ng+δ)k∗/f(k∗)s=k^*(g+n+ng+\delta)k^*/f(k^*)s=k∗(g+n+ng+δ)k∗/f(k∗)

代入消费的表达式

c∗=(1−s)f(k∗)=[1−(g+n+ng+δ)k∗f(k∗)]f(k∗)=f(k∗)−(g+n+ng+δ)k∗c^*=(1-s)f(k^*)=[1-\frac{(g+n+ng+\delta)k^*}{f(k^*)}]f(k^*)\\= f(k^*)-(g+n+ng+\delta)k^*c∗=(1−s)f(k∗)=[1−f(k∗)(g+n+ng+δ)k∗​]f(k∗)=f(k∗)−(g+n+ng+δ)k∗最大化消费的资本的边际产品

就是求使得c∗c^*c∗最大的k∗k^*k∗，所以c∗c^*c∗对k∗k^*k∗求导

∂c∗∂k∗=f′(k∗)−(g+n+ng+δ)=0\frac{\partial c^*}{\partial k^*}=f'(k^*)-(g+n+ng+\delta)=0∂k∗∂c∗​=f′(k∗)−(g+n+ng+δ)=0

所以kGRk_{GR}kGR​由下式决定

f′(kGR)=g+n+ng+δf'(k_{GR)}=g+n+ng+\deltaf′(kGR)​=g+n+ng+δ