您可以使用delta method查找预测概率的近似方差。也就是说var(proba) = np.dot(np.dot(gradient.T, cov), gradient)
其中gradient是模型系数预测概率导数的向量，cov是系数的协方差矩阵。
Delta方法被证明对所有最大似然估计都是渐近的。然而，如果你有一个小的训练样本，渐近方法可能不太好用，你应该考虑自举。
下面是一个将delta方法应用于logistic回归的示例：import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
# generate data
np.random.seed(1)
x = np.arange(100)
y = (x * 0.5 + np.random.normal(size=100,scale=10)>30)
# estimate the model
X = sm.add_constant(x)
model = sm.Logit(y, X).fit()
proba = model.predict(X) # predicted probability
# estimate confidence interval for predicted probabilities
cov = model.cov_params()
gradient = (proba * (1 - proba) * X.T).T # matrix of gradients for each observation
std_errors = np.array([np.sqrt(np.dot(np.dot(g, cov), g)) for g in gradient])
c = 1.96 # multiplier for confidence interval
upper = np.maximum(0, np.minimum(1, proba + std_errors * c))
lower = np.maximum(0, np.minimum(1, proba - std_errors * c))
plt.plot(x, proba)
plt.plot(x, lower, color='g')
plt.plot(x, upper, color='g')
plt.show()
它画出了以下漂亮的图画：
对于您的示例，代码将是proba = logit.predict(age_range_poly)
cov = logit.cov_params()
gradient = (proba * (1 - proba) * age_range_poly.T).T
std_errors = np.array([np.sqrt(np.dot(np.dot(g, cov), g)) for g in gradient])
c = 1.96
upper = np.maximum(0, np.minimum(1, proba + std_errors * c))
lower = np.maximum(0, np.minimum(1, proba - std_errors * c))
plt.plot(age_range_poly[:, 1], proba)
plt.plot(age_range_poly[:, 1], lower, color='g')
plt.plot(age_range_poly[:, 1], upper, color='g')
plt.show()
它会给出以下图片
看起来很像一条里面有大象的大Python。
您可以将其与bootstrap估计值进行比较：preds = []
for i in range(1000):
boot_idx = np.random.choice(len(age), replace=True, size=len(age))
model = sm.Logit(wage['wage250'].iloc[boot_idx], age[boot_idx]).fit(disp=0)
preds.append(model.predict(age_range_poly))
p = np.array(preds)
plt.plot(age_range_poly[:, 1], np.percentile(p, 97.5, axis=0))
plt.plot(age_range_poly[:, 1], np.percentile(p, 2.5, axis=0))
plt.show()
delta方法和bootstrap的结果看起来几乎相同。
然而，这本书的作者走了第三条路。他们利用这个事实
proba=np.exp(np.dot(x，params))/(1+np.exp(np.dot(x，params)))
计算线性部分的置信区间，然后用logit函数进行变换xb = np.dot(age_range_poly, logit.params)
std_errors = np.array([np.sqrt(np.dot(np.dot(g, cov), g)) for g in age_range_poly])
upper_xb = xb + c * std_errors
lower_xb = xb - c * std_errors
upper = np.exp(upper_xb) / (1 + np.exp(upper_xb))
lower = np.exp(lower_xb) / (1 + np.exp(lower_xb))
plt.plot(age_range_poly[:, 1], upper)
plt.plot(age_range_poly[:, 1], lower)
plt.show()
所以他们得到了发散间隔：
这些方法产生如此不同的结果，因为它们假设不同的事物(预测概率和对数比值)正态分布。也就是说，delta方法假设预测概率是正常的，而在书中，对数概率是正常的。事实上，它们在有限样本中都不正常，但在无限样本中都收敛，但它们的方差同时收敛到零。最大似然估计对重参数化不敏感，但它们的估计分布是，这就是问题所在。
