作者：CHEONG

公众号：AI机器学习与知识图谱

研究方向：自然语言处理与知识图谱

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本文主要介绍无向图中的条件独立性和因子分解。若需了解有向图中的条件独立性和因子分解请看上一篇【机器学习系列】概率图模型第二讲：深入浅出有向图中的条件独立性和D划分

本文结论

知识点1：无向图条件独立性体现在全局马尔可夫性、局部马尔可夫性和成对马尔可夫性三个方面。并且三个方面是相互存在，即其中任一个成立均可推出另外两个成立；

知识点2：概率图的条件独立性和概率图的因子分解不是相互独立的，因子分解式是可以推导出概率图的条件独立性假设；

知识点3：无向图的因子分解比有向图因子分解要复杂，有向图根据拓扑结构可直接写出因子分解式，而无向图中引入了最大团的改进进行因子分解。

一、无向图条件独立性

无向图模型的条件独立性体现在以下三个方面：

1、 全局马尔可夫性：

如下图所示，无向图的条件独立性很简单，如果在给定集合XBX_BXB​情况下，集合XAX_AXA​和XCX_CXC​相互独立，则必须满足如下条件：节点a属于集合XAX_AXA​，节点c属于集合XCX_CXC​，若存在节点b和节点a和c之间均连接，则节点b必须存在于集合XBX_BXB​中。

2、局部马尔可夫性：

如下图所示，局部马尔可夫性是指节点a在给定邻居节点b,c,d情况下和非邻居节点是相互独立的。

3、成对马尔可夫性：

注意：全局马尔可夫性，局部马尔可夫性和成对马尔可夫性之间是相互依存的，即其中一个成立可推导出另外两个也是成立的。

二、无向图因子分解

有向图的因子分解根究图的拓扑结构很容易写出因子分解式，但无向图因子分解较复杂，无论是有向图或无向图，因子分解必须要体现图的条件独立性，因子分解和图的条件独立性是等价的。

为了解决无向图因子分解，先引入团和最大团的概念。团是指无向图中节点的集合，且节点之间都是相通的，最大团是指团中再多加入一个节点所有节点就不是相通的，即无向图中最大团的概念。

下面先直接给出基于最大团的无向图因子分解的公式：

其中xcix{c_i}xci​既是值团cic_ici​对应图中的节点集合，ϕ\phiϕ函数是势函数，ϕ(xci)=exp(−E(xci))\phi(x{c_i})=exp({-E(x{c_i})})ϕ(xci​)=exp(−E(xci​)) ，必须为正，E(xci)E(x{c_i})E(xci​)表示能量函数，而ZZZ是归一化因子，计算方式如下：

可以通过Hammesley-Clifford定理证明上述的因子分解方式是可以推导出无向图的条件独立性，从侧面说明基于最大团的无向图分解的合理性。

总结：有向图的因子分解，条件独立性；无向图的因子分解，条件独立性。

参考视频资料：【机器学习】【白板推导系列】 作者：shuhuai008

参考书籍资料：Pattern Recognition and Machine Learning 作者：Christopher Bishop