方差的定义
设随机变量 X X X的数学期望 E ( X ) E(X) E(X)存在,若 E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] E[(X-E(X))^2] E[(X−E(X))2]存在,则 E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] E[(X-E(X))^2] E[(X−E(X))2]为随机变量 X X X的方差,记为 D ( X ) D(X) D(X)或 V a r ( X ) Var(X) Var(X),即: D ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] D(X)=E[(X-E(X))^2] D(X)=E[(X−E(X))2]称 D ( X ) \sqrt{D(X)} D(X) 为随机变量 X X X的标准差或均方差,记作 σ ( X ) \sigma(X) σ(X)。
由定义可知,方差是随机变量 X X X的函数 g ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] g(X)=E[(X-E(X))^2] g(X)=E[(X−E(X))2]的数学期望。故 D ( X ) = { ∑ k = 1 ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 p k , 当 X 为离散时 ∫ − ∞ + ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x , 当 X 为连续时 D(X) = \begin{cases} \sum_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2p_k, & \text{当$X$为离散时} \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx, & \text{当$X$为连续时} \end{cases} D(X)={∑k=1∞[xk−E(X)]2pk,∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx,当X为离散时当X为连续时实际计算中,我们常常用如下公式计算方差: D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2