随机变量取值与其数学期望的偏离程度——方差

方差的定义

设随机变量 X X X的数学期望 E ( X ) E(X) E(X)存在，若 E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] E[(X-E(X))^2] E[(X−E(X))2]存在，则 E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] E[(X-E(X))^2] E[(X−E(X))2]为随机变量 X X X的方差，记为 D ( X ) D(X) D(X)或 V a r ( X ) Var(X) Var(X)，即： D ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] D(X)=E[(X-E(X))^2] D(X)=E[(X−E(X))2]称 D ( X ) \sqrt{D(X)} D(X) ​为随机变量 X X X的标准差或均方差，记作 σ ( X ) \sigma(X) σ(X)。

由定义可知，方差是随机变量 X X X的函数 g ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] g(X)=E[(X-E(X))^2] g(X)=E[(X−E(X))2]的数学期望。故 D ( X ) = { ∑ k = 1 ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 p k , 当 X 为离散时 ∫ − ∞ + ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x , 当 X 为连续时 D(X) = \begin{cases} \sum_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2p_k, & \text{当$X$为离散时} \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx, & \text{当$X$为连续时} \end{cases} D(X)={∑k=1∞​[xk​−E(X)]2pk​,∫−∞+∞​[x−E(X)]2f(x)dx,​当X为离散时当X为连续时​实际计算中，我们常常用如下公式计算方差： D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2

方差的性质

设 c c c为常数，则 D ( c ) = 0 D(c)=0 D(c)=0设 c c c为常数，则 D ( c X ) = c 2 D ( X ) D(cX)=c^2D(X) D(cX)=c2D(X) D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}若 X X X与 Y Y Y相互独立，有 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X\pm Y)=D(X)+D(Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)对任意常数 c ≠ E ( X ) c \neq E(X) c̸​=E(X)，则 D ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] &lt; E [ ( X − c ) 2 ] D(X)=E[(X-E(X))^2]&lt;E[(X-c)^2] D(X)=E[(X−E(X))2]<E[(X−c)2]

常用分布的方差