【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第4章-赋范线性空间与矩阵范数

第4章-赋范线性空间与矩阵范数

4.1 赋范线性空间4.1.1 向量的范数4.1.2 向量范数的性质4.2 矩阵的范数4.2.1 矩阵范数的定义与性质4.2.2 算子范数定理 4.2.2 算子范数4.2.3 谱范数的性质和谱半径定义 4.2.3 谱半径4.3 摄动分析与矩阵的条件数4.3.1 病态方程组与病态矩阵4.3.2 矩阵的条件数4.3.3 矩阵特征值的摄动分析定义 4.3.3 盖尔圆定理 4.3.2 （盖尔定理又称圆盘定理）

4.1 赋范线性空间

4.1.1 向量的范数

4.1.2 向量范数的性质

4.2 矩阵的范数

4.2.1 矩阵范数的定义与性质

4.2.2 算子范数

定理 4.2.2 算子范数

4.2.3 谱范数的性质和谱半径

我们知道，矩阵的算子范数 ∣∣A∣∣2||A||_2∣∣A∣∣2​ 称为 AAA 的谱范数，它的值是通过矩阵 AHAA^HAAHA 的最大特征值来计算的，尽管求特征值比较麻烦，但这种范数有非常好的性质。

定义 4.2.3 谱半径

设 A∈Cn×nA \in \mathbb{C}^{n\times n}A∈Cn×n，λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1​,λ2​,⋯,λn​ 为 AAA 的特征值，我们称下式为 AAA 的谱半径。

ρ(A)=max⁡i∣λi∣(4.2.17)\rho(A) = \max_i |\lambda_i| \tag{4.2.17}ρ(A)=imax​∣λi​∣(4.2.17)

谱半径在几何上可以解释为：以原点为圆心、能包含 AAA 的全部特征值的圆的半径中最小的一个。

4.3 摄动分析与矩阵的条件数

4.3.1 病态方程组与病态矩阵

4.3.2 矩阵的条件数

4.3.3 矩阵特征值的摄动分析

定义 4.3.3 盖尔圆

设 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​) 为任一 nnn 阶复数矩阵，复平面上的 nnn 个圆盘

Gi(A):∣z−aii∣≤Ri,i=1,2,⋯,nG_i(A): |z-a_{ii}|\le R_i,\quad i=1,2,\cdots,nGi​(A):∣z−aii​∣≤Ri​,i=1,2,⋯,n

这里以 Ri=∑j=1,j≠in∣aij∣R_i = \sum_{j=1,j\ne i}^{n} |a_{ij}|Ri​=∑j=1,j​=in​∣aij​∣ 为半径的圆（即圆盘的边界），称为矩阵 AAA 的 Gerschgorin 圆，简称盖尔圆。

定理 4.3.2 （盖尔定理又称圆盘定理）

设 A=(aij)∈Cn×nA=(a_{ij}) \in \mathbb{C}^{n\times n}A=(aij​)∈Cn×n ，则

AAA 的特征值都在 nnn 个圆盘 Gi(A)G_i(A)Gi​(A) 的并集内（换句话说，AAA 的每个特征值都落在 AAA 的某个圆盘之内），即

λ(A)⊆⋃i=1nGi(A)；\lambda(A) \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} G_i(A)；λ(A)⊆i=1⋃n​Gi​(A)；

矩阵 AAA 的任一个由 mmm 个圆盘组成的连通区域中，有且只有 AAA 的 mmm 个特征值（当 AAA 的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有相同特征值时也需按重复次数计算）。

关于盖尔圆的原理和实现还可参考文章：

【控制】盖尔圆盘定理

【Matlab 控制】绘制盖尔圆